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The answer is yes, the adverb davvero can have the meanings you mentioned in your example. Most of the difference would be made by the tone you pronounce the phrase with.

Inspecting the definition of davvero on Treccani's dictionary you can find:

davvéro avv. [comp. di da e vero]. – 1. Veramente, in verità, proprio: intendi d. ritirarti?; mi dispiace d.; con aggettivi: bello d., bravo d.; è un libro d. interessante; talora ironico: hai fatto bene d.!; sei d. gentile! Spesso rafforza la negazione: non voglio d. rimetterci; io non ci vado d.; no davvero. Usato da solo, nelle risposte esprime conferma: «Ci sei stato proprio?» «Davvero!». Interrogando, esprime dubbio o meraviglia per ciò che uno racconta: davvero? (cioè: «è proprio così come dici?»). 2. Preceduto da per, e nelle locuz. fare d., dire d. e sim., significa «sul serio»: se le son date per d.; dici d.?; non scherzo, faccio davvero.

The former meaning corresponds to the case

I'm really hungry (= I'm very hungry)

and can also be used as an intensifier.

The latter meaning corresponds to

I'm really hungry (= I'm truly, seriously hungry and I'm not lying about that)

even if to be more clear you should say

Ho fame per davvero.